Naturens mønstre
INTRO
Naturen er fuld af flotte mønstre. I denne opgave skal I arbejde med mønstre som symmetrier, fraktaler og spiraler. I skal også selv genskabe naturens mønstre med forskellige programmer og lære at forstå dem ved hjælp af matematik.
Forberedelse
> Læs fagtekster om Skønheden i naturen
Det skal I:
1) Tag ud på plantejagt
2) Lav et herbarium
3) Undersøg og tegn naturens fraktaler
4) Forstå og tegn Fibonacci-spiraler
5) Lav Fibonacci-spiraler i naturen.
Formål med opgaven
-
I går på opdagelse i naturen og finder planter til et herbarium.
-
I lærer om symmetri, fraktaler og spiraler.
-
I lærer at undersøge og beskrive naturens mønstre gennem matematik.
-
I lærer at modellere og gengive naturens mønstre ved hjælp af programmer som Geogebra.
Tidsforbrug: 6 lektioner á 45 min. plus transporttid.
Fag: Matematik og biologi.
1) Tag ud på plantejagt
I deles ind i grupper og tager ud til et naturområde. Det kan for eksempel være et grønt område i nærheden af skolen, en skov eller en park.
-
Hver gruppe skal finde og plukke mindst fire blade fra forskellige slags træer. I skal tage et foto af træerne. Det kan være en hjælp, når I senere skal bestemme bladenes art.
-
Nu skal I indsamle to til fem forskellige blomster. Grav hele roden med op, så det er lettere at artsbestemme blomsterne. Tag et foto af blomsterne.
-
Tilbage på skolen skal I sammen i gruppen artsbestemme og klassificere jeres fund. Det kan I gøre ved hjælp af opslagsbøger, en bestemmelsesdug eller ved at søge på internettet. I skal både finde frem til det videnskabelige artsnavn og hverdagsnavnet.
2) Lav et herbarium
Jeres gruppe skal nu lave et herbarium. Et herbarium er en samling af tørrede og pressede planter. Planterne bliver klistret fast på papir og efterfølgende lagt i pres, så de bevarer deres struktur. Man har brugt herbarier i mange hundrede år som en effektiv måde til at opbevare og klassificere planter.
-
Hver person får uddelt et stykke A5-papir. Herefter tager I et blad eller en blomst og klipper det forsigtigt over på midten. Hvis I bruger et blad, skal I klippe langs bladets midterste ledningsstreg.
-
Tag nu det halve blad/blomst og brug limen til at klistre det på papiret. Herefter skal I med blyant/tusch prøve at tegne den anden del af planten, så det ligner en symmetrisk spejling. I kan eventuelt bruge en lineal til at gøre det mere præcist. Prøv at tegne så mange detaljer fra planten så muligt.
-
Skriv plantens videnskabelige artsnavn og hverdagsnavn nedenunder.
-
Læg nu spejlingen af jeres plante i pres i en-to uger. Når planterne er tørret, skal hver gruppe samle deres ark med planter til en lille bog ved hjælp af en hulmaskine og snor. Lav også gerne en flot forside til jeres herbarium.
-
Hver gruppe præsenterer deres herbarium for resten af klassen.
-
Hvilke blade og blomster har I klistret ind og tegnet en spejling af?
-
Var der nogle planter, som var mere symmetriske end andre?
Symmetri
Når noget er symmetrisk, betyder det, at det kan drejes eller spejles uden at ændre udseende. Eksempelvis har mange blomsterhoveder radialsymmetri. Det betyder, at de er symmetriske omkring et centrum.
Blomster har også spejlsymmetri, det vil sige, at hvis man deler blomsten midt over visse steder, vil den ene del være en spejling af den anden.
Spejlsymmetri er den mest udbredte form for symmetri i naturen. Det forekommer i blade, menneskekroppen, insekter, fugle og mange andre dyr.
3) Undersøg og tegn naturens fraktaler
Nu skal I lære om forskellige fraktaler i naturen. Fraktaler består af gentagelser af den samme form i mindre og mindre skala. Eksempelvis har træer en fraktal struktur, som ses ved, at stammen deler sig og danner grene, hvorfra der vokser mindre grene, der igen deler sig og så videre. Det gør, at hver enkelt gren vil minde om hele træet i sin struktur.
1) Undersøg forskellige fraktaler som for eksempel bregneblade, romanesco-kål eller broccoli. Snak om:
-
Hvad er princippet ved en fraktal struktur?
-
Er nogle af fraktalerne symmetriske?
-
Kan I komme i tanke om andre fraktaler, som findes i naturen?
2) Nu skal I hver især tegne fraktale mønstre på computeren. Start med at se videoerne om, hvordan man kan tegne fraktale mønstre i Geogebra eller Paint.
-
Vælg hvilken/hvilke fraktaler I vil genskabe ud fra de eksempler, videoerne viser. Det kan eksempelvis være 'Sierpinski trekanten' eller 'Von Kochs snefnug'.
-
Prøv derefter, om I kan opfinde jeres egne fraktale mønstre.
-
Til sidst kan I printe jeres fraktale mønstre ud og farvelægge dem. Herefter kan I hænge dem op i klassen eller andre steder i skolen.
Romanesco-kål er et godt eksempel på fraktale mønstre i naturen.
Fraktaler i Geogebra.
Fraktaler i Paint.
4) Forstå og tegn Fibonacci-spiraler
I skal nu undersøge sammenhængen mellem Fibonacci-talrækken og mønstre i naturen. Fibonacci-tal er en talrække, der er opkaldt efter den italienske matematiker Leonardo Fibonacci, der opdagede og beskrev talrækken tilbage i 1200-tallet. Talrækken forløber sådan her:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... osv.
Hvis man kigger på talrækken, kan man se, at hvert tal udgør summen af de to foregående tal. Således er summen af 0 + 1 = 1, summen af 1 + 2 = 3, summen af 3 + 5 = 8 og så videre.
Fibonacci-tal kan ligesom symmetri og fraktaler genfindes i naturen i forskellige former. Faktisk følger mange af naturens elementer tal fra Fibonacci-talrækken. Eksempelvis vil blomster ofte have et antal kronblade, som udgør Fibonacci-tal såsom 5, 8, 13 og så videre.
Fibonacci-spiraler
Fibonacci-spiralen følger talrækken ved, at spiralen går gennem kvadrater, der vokser i takt med Fibonacci-talrækken. Prøv at kigge nærmere på mønstret i et sneglehus eller i en solsikke. Her kan I finde et spiralformet mønster, der kaldes Fibonacci-spiral.
Fibonacci og phi
Der er en sammenhæng mellem Fibonacci-talrækken og tallet phi, som også kaldes det gyldne snit. Phi har en konstant på cirka 1,618034. Når man dividerer et tal i Fibonacci-talrækken med det foregående tal, får man et resultat, der er tæt på phi. Tallet bliver tættere og tættere på phi, jo højere tal, man dividerer. Det ses eksempelvis:
5/3 = 1,666...
8/5 = 1,6
89/55 = 1,61818…
Det gyldne snit
Man bruger det gyldne snit til at opdele et linjestykke i to dele, der virker harmoniske. Her inddeler man linjen sådan, at forholdet mellem det største og det mindste stykke svarer til forholdet mellem hele linjestykket og det største stykke. Man beskriver forholdet mellem linjestykkerne i det gyldne snit således:
a = stort linjestykke
b = lille linjestykke
a/b = a + b/a
I mange hundrede år har kunstnere brugt størrelsesforholdet i det gyldne snit til at vurdere, hvordan de skal placere elementer i deres billeder, så det virker naturligt for øjet.
I skal nu hver for sig tegne jeres egne Fibonacci-spiraler som eksemplet til højre. Regn ud hvor store de næste tre kvadrater i spiralen skal være og tegn derefter spiralen færdig. Til at løse opgaven kan I bruge et digitalt tegneprogram som Geogebra eller millimeterpapir.
Elevspørgsmål
-
Hvad er Fibonacci-talrækken?
-
Hvordan kommer den til udtryk i naturens planter?
-
Hvad er sammenhængen mellem Fibonacci-talrækken og spiraler?
-
Hvad er sammenhængen mellem Fibonacci-talrækken, phi og det gyldne snit?
Fibonacci-spiral i naturen.
Det gyldne snit er med til at skabe harmoni i et billede.
Fibonacci-spiral tegnet ind på millimeterpapir.
5) Lav Fibonacci-spiraler i naturen
I skal nu tage ud i grupper til et område, hvor der er god plads. Det kan være skolegården, en græsplæne eller en strand. Her skal I genskabe Fibonacci-spiraler med for eksempel sten eller kridt.
1) Start med at måle kvadraterne op og marker dem med kridt eller sten. Det er en god idé at bruge en tommestok eller et målehjul.
2) Tegn nu spiralen, som løber gennem kvadraterne.
3) Prøv at lave spiraler i andre størrelser, for eksempel ud fra kvadrater, der er 1 cm2, 10 cm2 eller 1 m2.
4) I slutter af med at gå rundt og kigge på de andre gruppers spiraler.
-
Hvordan adskiller de sig fra hinanden?
-
Hvor store kunne I lave dem?
Til læreren
Forløbet kan udføres i skoven, på stranden eller i nærområdet og tilpasses i forhold til arter og natur. Der kan differentieres i herbarium-øvelsen ved at lade eleverne arbejde mere systematisk med klassificering eller undersøge insekter (levende) og modeller. Ligeledes kan eleverne arbejde med symmetri i forhold til dyr.
Til opgaven om fraktaler kan eleverne bruge millimeter-papir, hvis det er for vanskeligt at bruge Geogebra eller Paint. Her kan I eksempelvis tegne Von Kochs snefnug
MATERIALER
Gå på plante-jagt
-
Opslagsbøger (evt. digitale)
-
Bestemmelsesdug
-
Evt. et forstørrelsesglas til identifikation af planterne.
Lav et Herbarium
-
A5-papir i en lidt kraftig kvalitet
-
Lim, saks, linealer, tusser/blyanter
-
Hulmaskine
-
Snor
-
Herbariumspresser eller tunge bøger.
Undersøg og tegn naturens fraktaler
-
Eksempler på fraktaler såsom bregner, romanesco-kål, broccoli, en krystal eller billeder af lyn og lungevæv.
-
Millimeterpapir
-
Linialer, blyanter/farveblyanter.
Forstå og tegn Fibonacci-spiraler
-
Millimeterpapir
-
Linialer, blyanter, passere.
Lav Fibonacci-spiraler i naturen
-
Sten, kridt
-
Tommestokke eller målehjul.
FAGLIGE MÅL
Matematik
-
Eleven kan beskrive og fremstille figurer og mønstre med spejlingssymmetri.
-
Eleven har viden om metoder til at fremstille figurer og mønstre med spejlingssymmetri, herunder digitale værktøjer.
-
Eleven har viden om metoder til at tegne enkle plane figurer, herunder med et dynamisk geometriprogram.
Biologi
-
Eleven har viden om biologisk systematik og klassifikation.
-
Eleven kan anvende modeller til forklaring af fænomener og problemstillinger i naturfag.
Opsamling i klassen
-
Hvad har I lært om symmetri?
-
Hvor i naturen kan man finde fraktaler?
-
Hvad er det særlige ved Fibonacci-talrækken?
-
Hvordan hænger talrækken sammen med mønstre i naturen?